Феофан это бот, умеющий рассуждать логически на русском языке ФРЯ Например, если Феофану сообщить, что все люди смертны, а Сократ это человек, то он сообразит, что Сократ тоже смертен. См. Примеры

Monday, January 2, 2017

ПэЧэ или P-адические числа

Господин ПэЖэ. Принадлежит к касте Чатлан. Носит голубые штаны. Не очень злобен. Чтобы его задобрить, достаточно вставить в нос цак и раз десять сделать «Ку!» (по уточнённым данным — от 8 до 12 раз). Раньше он жил со своей мамой на планете Плюк в галактике Кин-дза-дза. Радовался жизни, делал кислую физиономию, издавал приказы вида «Всем пацакам надеть намордники и радоваться!» В общем, вёл обычную жизнь обычного губернатора планеты. Но однажды, когда в Годвилле ещё существовало пиво, и некропетровские физики пили его с демиургами, они решили поставить ненаучный эксперимент и под шумок набили в трубку одному из Творцов несколько грамм элементарных частиц вместо табака. Никто не знает, почему появился именно господин ПэЖэ (может быть, потому что демиург прикуривал не чем-нибудь, а самым настоящим КЦ, сиречь спичками), и неизвестно, что было дальше, но проснулись они утром без спичек, с цаками в носу и в серых штанах. А сам господин ПэЖэ довольно быстро освоился в новом для него мире. Теперь он ходит по дорогам и просит закурить. Если кто-либо достаёт спички — он их отбирает и, в случае претензий со стороны потерпевшего, грозится применить транклюкатор. Никто не знает, что это такое, поэтому все боятся.
                                                                          https://wiki.godville.net/Господин_ПэЖэ 

"In physical science the first essential step in the direction of learning any subject is to find principles of numerical reckoning and practicable methods for measuring some quality connected with it. I often say that when you can measure what you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot measure it, when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a meager and unsatisfactory kind; it may be the beginning of knowledge, but you have scarcely in your thoughts advanced to the state of Science, whatever the matter may be." [PLA, vol. 1, "Electrical Units of Measurement", 1883-05-03]
                                                                                           http://zapatopi.net/kelvin/quotes/ 



Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в p-адических системах координат


....


Только в Х1Х веке, благодаря работам Кантора и Дедекинда, было создано строгое математическое описание вещественных чисел. Заметим, что камнем преткновения являлись иррациональные числа ъ'2,«г,... Реальность рациональных чисел, представляемых отношениями целых чисел, не вызывала больших сомнений. Таким образом, основной проблемой являлось расширение (пополнение) множества рациональных чисел 1) до множества вещественных чисел В.. Иррациональные числа не могут быть описаны с помощью конечных процессов. Здесь действительно возникает элемент иррациональности. Интересно, что П.А. Флоренский сравнивал процесс построения иррационального числа с процессом «приближения к Богу». Вообще, можно согласиться с высказыванием А Пуанкаре: «В итоге можно сказать, что разум обладает способностью создавать символы; благодаря этой способности он построил математическую непрерывность 1т.е. поле вещественных чисел), которая представляет собой только особую систему символов» ).

В дальнейшем нас будет серьезно интересовать следующий вопрос: «Является ли поле вещественных чисел В. единственным «естественным» расширением поля рациональных чисел 1)7» Мы увидим, что существуют другие расширения поля 1), а именно — поля р-адических чисел 1)р, которые возникают не менее естественно, чем В.. Таким образом, отталкиваясь от рациональных чисел, разум может создавать и другие системы символов, отличные от вещественных чисел. В этой книге предлагается использовать эти новые системы чисел — р-адические числадля описания разума ). Но пока вновь вернемся к описанию мира с помощью вещественных чисел.
-----------------------------------------
') Подробное обсуждение становления реалистического взгляда на вещественные числа можно найти в книге П.А. Флоренского 175).
з)Пуанкаре А. О науке. — Ме Наука, 1983.
з) Конечно, возникает весьма интересная проблема, которая на протяжении столетий обсуждается философами, психологами, нейрофизиологами, логиками, математиками: «Может ли разум в принципе создать систему символов, описывающую его самого)» В целом предлагаемая книга дает положительный ответ на этот вопрос.


....


Владимиров и Волович выразили в четкой математической форме неясные представления о неархимедовости 1и неупорядоченности) пространства в микромире, витавшие на протяжении десятилетий в космологии, теории гравитации и теории струн. С другой стороны, Владимиров и Волович впервые четко обозначили роль рациональных чисел в физике и отделили использование рациональных чисел от более общих вещественных. В традиционной классической физике рациональные числа никогда не выделялись, все процессы рассматривались в В.. Впервые было подчеркнуто, что лишь рациональные числа являются физическими числами. Действительно, в любом эксперименте можно измерить лишь конечное число знаков после запятой.








=================================================================
=================================================================



Анри Пуанкаре
О НАУКЕ



....................

Физическая непрерывность. Итак возникает вопрос, не заимствовано ли понятие математической непрерывности просто из опыта. Если бы это было так, то это означало бы, что данные непосредственного опыта, каковыми являются наши ощущения, доступны измерению.
Может явиться искушение поверить, что это и в самом деле так, потому что в последнее время пытались измерить их, и был даже сформулирован закон, известный под именем закона Фехнера, по которому ощущение пропорционально логарифму раздражения.  {28} 
Но если ближе присмотреться к опытам, которыми пытались обосновать этот закон, то можно прийти к совершенно противоположному заключению. Например, было замечено, что вес A, равный 10 граммам, и вес B, равный 11 граммам, производят тождественные ощущения, что вес B нельзя отличить от веса C, равного 12 граммам; но что вес A можно легко отличить от веса C. Таким образом, непосредственные результаты опыта могут быть выражены следующими соотношениями:

A = B,    B = C,    A < C,

которые можно рассматривать как формулу физической непрерывности. Эта формула заключает в себе недопустимое разногласие с законом противоречия; необходимость избежать его и заставила нас изобрести идею математической непрерывности.
Итак, необходимо заключить, что это понятие всецело создано разумом, но что опыт доставил ему повод для этого.
Мы не можем допустить, что два количества, равные одному и тому же третьему, не равны между собой; и это обстоятельство вынуждает нас предположить, что A отличается от B и B от C, но несовершенство наших чувств не позволило нам этого заметить.





.....................


Различные замечания. Мы можем поставить перед собой несколько важных вопросов:
1. Исчерпывается ли творческое могущество разума созданием математической непрерывности?
Нет: труды Дюбуа-Реймона служат поразительным доказательством этого.
Известно, что математики различают бесконечно малые разных порядков, так что бесконечно малые второго порядка не только бесконечно малы в абсолютном смысле, но еще и являются таковыми по отношению к бесконечно малым первого порядка. Нетрудно представить себе бесконечно малые дробного и даже иррационального порядка, и, таким образом, мы снова находим ту последовательность математической непрерывности, которой посвящены предшествующие страницы. Более того: существуют такие бесконечно малые величины, которые бесконечно малы по отношению к бесконечно малым первого порядка и, напротив, бесконечно велики по отношению к бесконечно малым порядка 1 + ε, как бы ни было мало ε. Итак, вот еще новые члены, разместившиеся в нашем ряду; и если мне будет позволено вернуться к терминологии, которой я недавно держался и которая является достаточно удобной, хотя еще и не используется широко, я скажу, что этим создан вид непрерывности третьего порядка.
Легко было бы идти дальше, но это было бы бесполезной игрой ума; пришлось бы воображать себе одни символы без возможности их применения; на это никто не отважится. Даже непрерывность третьего порядка, к которой приводит рассмотрение различных порядков бесконечно малых, сама по себе является слишком мало полезной, чтобы приобрести право быть упоминаемой, и геометры рассматривают ее только просто как курьез. Разум пользуется своей творческой силой только тогда, когда опыт принуждает его к этому.
2. Раз мы обладаем понятием математической непрерывности, гарантированы ли мы от противоречий, аналогичных тем, которые положили начало этому понятию?
Нет; и я сейчас дам этому пример.
Надо быть очень сведущим, чтобы не считать очевидным, что каждая кривая имеет касательную:  {34}  и в самом деле, если представлять себе эту кривую и некоторую прямую как две узкие полосы, то всегда можно расположить их так, что они будут иметь общую часть, не пересекаясь. Теперь вообразим себе, что ширина этих двух полос бесконечно уменьшается; существование их общей части будет всегда возможным, и в пределе, так сказать, две линии будут иметь общую точку, не пересекаясь, т. е. они будут взаимно касаться друг друга.
Геометр, рассуждающий таким образом, сделал бы — сознательно или нет — то же самое, что мы сделали раньше, желая доказать, что две пересекающиеся линии имеют общую точку; и его интуиция могла бы показаться такой же законной.
Между тем она его обманула бы. Можно доказать, что существуют кривые, не имеющие касательных, если эта кривая определена как аналитическая непрерывность второго порядка.
Несомненно, какая-нибудь уловка, аналогичная раньше изученным нами, позволила бы устранить противоречие, но так как оно встречается только в весьма исключительных случаях, то им и не занимаются. Вместо того чтобы стараться примирить интуицию с анализом, удовольствовались тем, что пожертвовали одним из двух; и так как анализ должен остаться непогрешимым, то всю вину отнесли на счет интуиции.

Tuesday, December 27, 2016

Размышления об арифметической физике (Ю.И.Манин)

формула Эйлера


\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to   здесь  — простые числа)




 .................
Давайте по- смотрим на одну из самых красивых формул Эйлера: 
 π 2 /6 = Y p простое (1− p −2 ) −1 . () 

Правая часть, без всяких сомнений, принадлежит теории чисел: про- стые числа p = 2, 3, 5, 7, 11, … –– один из ее главных предметов изу- чения. 
Осмелюсь сказать, что левая часть, в которой участвует чис- ло π, является физической константой, хотя, видимо, чтобы убедить в этом читателя, потребуется какая-то аргументация. В самом деле, число π может быть (и было) измерено, так же, как температура кипе- ния воды или длина земного экватора. 
Можно сказать, что евклидова геометрия, в которой π появляется как математическая константа, является на самом деле кинематикой идеальных твердых тел, рабо- тающей в макроскопическом приближении плоского гравитационного вакуума.

Чтобы лучше понять формулу (), полезно вспомнить некоторые свойства простых чисел. Классически простое число p определяется как целое положительное число, не имеющее делителей, кроме само- го себя и единицы.  
Каждое целое число можно единственным обра- зом разложить в произведение простых; простых чисел бесконечно много; они распределены довольно нерегулярно; простейшая асимп- тотическая формула для количества простых чисел, не превосходящих N, имеет вид N/ logN. Это, однако, не тот подход, который нам сейчас нужен.  

Современное объяснение роли простых чисел дается теоремой Островского: простыми числами описываются все разумные способы (в дополнение к традиционному) ввести понятие непрерывности на множестве Q рациональных чисел. 
.............



Теорема Островского утверждает, что всякая норма (говорят еще «нормирование») на Q задает ту же топологию, что | · |∞ или | · |p для некоторого простого p. Разумеется, свойства Qp во многих отношениях отличны от свойств R. Главная причина в том, что Qp и R сильно отличаются топологически: p-адические числа образуют канторово множество, или «фрактал» []. 



.............


Тем самым мы опять наблюдаем соединение архимедовых и фрактальных свойств в одном объекте.


........................ 




Если теперь позволить себе несколько рискованное обобщение, то можно сформулировать основную гипотезу этого доклада. На фундаментальном уровне наш мир не является ни веществен- ным, ни p-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (воз- можно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проектируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проектировать ее в неархимедову сто- рону и вычислять наиболее важные вещи арифметически. «Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике. Разумеется, никто не обязан принимать эту метафизику всерьез. С


.......
У теории чисел есть своя группа большого объединения: это груп- па Галуа G = Gal(Q¯/Q), состоящая из всех перестановок алгебраиче- ских чисел, сохраняющих алгебраические соотношения между ними с рациональными коэффициентами. Это бесконечная топологическая группа «фрактального» типа; ее структура очень сложна и, в неко- тором смысле, содержит в себе всю арифметику (если учесть также некоторые канонические центральные расширения ее подгрупп –– так называемые группы Вейля). Для иллюстрации этого утверждения от- метим только, что ее максимальная абелева факторгруппа G ab изо- морфна Q p Z ∗ p , так что простые числа появляются вновь, совершенно неожиданным образом –– по существу как образующие G ab. П 

Сад сходящихся троп: Манин и Паули (kniganews.org)

Сад сходящихся троп: Манин и Паули

Юрий Иванович Манин известен не только как выдающийся русский математик, но и как «просто мыслитель», интересно и содержательно пишущий на самые различные темы науки, культуры или истории.
Общее представление об этой второй, «нетехнической» стороне творчества Манина дает вышедший в 2008 году сборник «Математика как метафора» [1]. В данной книге собраны около двух десятков текстов ученого, написанных в течение примерно 30 последних лет и в разных ракурсах отражающих одну и ту же, в сущности, идею.
Идею о том, что математика не только способна давать поводы для глубоких нематематических размышлений, но и сама по себе является метафорой человеческого существования.
Если прибегать к известному набору ярлыков, которые принято навешивать на людей, способных четко формулировать свои мировоззренческие позиции, то Ю.И. Манин, несомненно, является платонистом. Причем сам он классифицирует себя даже еще более четко – как «эмоционального платоника» (а не рационального, поскольку, по убеждению ученого, никаких рациональных аргументов в пользу платонизма не существует [2]).
Трудно сказать про всех, но среди выдающихся математиков людей с подобными взглядами известно довольно много. Если охарактеризовать их точку зрения совсем кратко, воспользовавшись словами филдсовского медалиста Алена Конна, то свою профессиональную деятельность ученые-платонисты видят как исследование особого «математического мира». Такого мира, в независимом от людей существовании которого они ничуть не сомневаются и структуру которого они вскрывают. [3]
Более того, поскольку среди математиков по сию пору остается достаточное количество исследователей, активно интересующихся не только своей областью математических абстракций, но и новейшими достижениями ученых-физиков, идеи платонизма остаются тесно связанными с исследованиями природы реального мира. Причем на протяжении последних десятилетий эта неразрывная связь становилась все более и более очевидной.
Еще в 1987 году, почувствовав мощную тенденцию в квантовой теории струн, Юрий Манин сказал об этом примерно так: «Сегодня, вступая в последнюю четверть XX века, по крайней мере некоторые из нас снова испытывают древнее платонистское чувство, что математическим идеям каким-то образом суждено описывать физический мир, сколь бы отдаленными от реальности ни казались их истоки»…[4]
Данная цитата взята из весьма необычного, «метафизического» доклада Манина под названием «Размышления об арифметической физике». Сделан он был в первых числах сентября 1987 года в румынском курортном городке Пояна Брашов в Карпатах, где проходила международная Летняя школа по конформной инвариатности и струнной теории.
Выступая на этой конференции в качестве «профессионального теоретико-числовика и физика-любителя», Юрий Иванович эффектно продемонстрировал аудитории, что если ученые хотят быть последовательными в своих изысканиях, то им придется принять  неправдоподобную, на первый взгляд, идею, согласно которой самые глубокие приложения в физике скоро получит теория чисел (или просто «арифметика», поскольку примерно с 1970-х годов среди специалистов по теории чисел особым шиком стало употребление этого – формально справедливого – термина для обозначения своего ныне в высшей степени нетривиального предмета.)
Не вдаваясь в физико-математические подробности этого выступления, здесь, тем не менее, полезно привести главный итог или «основную гипотезу» доклада Манина о природе нашего мира (цитируется дословно, выделения слов другим шрифтом наложены дополнительно для удобства сопоставлений):
На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни р-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи  (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проецируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проецировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически.
«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительностинапоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.
На этой цитате пора перейти от выводов Манина к выводам одного из отцов квантовой механики, Вольфганга Паули. Подводя итог своим метафизическим размышлениям о природе мира, на рубеже 1940-50-х годов Паули писал про эти вещи так (см. подробности тут и тут):
«Когда люди говорят ‘реальность’, они обычно полагают, что речь идет о чем-то самоочевидном и хорошо всем известном; в то время как для меня это представляется наиболее важной и в высшей степени сложной задачей нашего времени – заложить новую идею реальности»[5] … «и самое оптимальное, если бы физика и душа представлялись как комплементарные аспекты одной и той же реальности»[6].
«По моему личному мнению, в будущей науке реальность не будет ни ментальной, ни физической, а каким-то образом обеими из них сразу, и в то же время ни той или другой по отдельности»…[7]
Даже ничего не понимая в свойствах p-адических чисел (от prime – простое число), в специфике неархимедова анализа или, тем более, в особенностях адельных конструкций и в парадоксах квантовой физики, внимательный читатель способен, тем не менее, заметить, что в словах Манина и Паули имеется подозрительно много общего.
Это взаимное соответствие оказывается еще более интересным, если учесть, что цитируемая здесь личная переписка Паули на «метафизические» темы в силу определенных семейных обстоятельств была впервые опубликована почти через полвека после смерти ученого, в 1990-е годы. Иначе говоря, в 1987 году Юрий Манин практически наверняка этих строк из писем Паули читать не мог.
Но при этом, именно в конце 1980-х, российский математик всерьез заинтересовался природой человеческого бессознательного, соответствующими теориями основателя аналитической психологии Карла Густава Юнга и его языком архетипов [8]. Вольфганг Паули, можно напомнить, все свои идеи о сведении двух миров в единую картину строил в непосредственном сотрудничестве с К.Г. Юнгом.
Также уместно подчеркнуть, что в качестве главного инструмента, который мог бы согласованно объединить два мира – ментальный и физический – Паули видел особый «нейтральный язык» синтеза на основе математики. Однако развить эти идеи до цельной теории, насколько известно, физику не удалось.
Ну а самое примечательное, что с той поры, как Юрий Манин прочел в г. Пояна Брашов свою необычную лекцию, поначалу наверняка удивившую физико-математическое сообщество, разным ученым удалось сделать огромное множество открытий, так или иначе подтверждающих «основную гипотезу» доклада.
Среди наиболее ярких работ этого ряда можно упомянуть, в частности, конструкцию Алена Конна, который к концу 1990-х годов через элегантное объединение математики аделей с квантовой физикой сумел  «почти доказать» одну из величайших математических задач за последние полторы сотни лет – гипотезу Римана о нулях дзета-функции (т.е. об очень красивой закономерности в распределении простых чисел).
Чего именно недостает в доказательстве Конна, каким образом его конструкция может быть связана с «музыкой простых чисел» и, самое любопытное, со структурой ментальной стороны реальности – все это постепенно проступает ныне в новых открытиях исследователей.
ССЫЛКИ
[1]. Манин Ю.И. «Математика как метафора». Москва. МЦНМО, 2008. http://math.ru/lib/484
[2]. Юрий Манин. «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». Интервью газете «Троицкий вариант», №13, 30 сентября 2008. http://www.scientific.ru/trv/13N.pdf
[3]. Connes Α., Lichnerowicz Α., Schiitzenberger Μ. P. «Triangle of thoughts». American Mathematical Society, 2001.
[4]. Manin Yu. I. «Reflections on arithmetical physics». In Conformal Invariance and string theory. Poiana Brasov, 1987. Boston, MA: Academic Press, 1989. P. 293—303.
[5]. Pauli to Fierz, 12 Aug. 1948, [971], PLC III (Wolfgang Pauli: Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. ed. Karl von Meyenn. Vol 3. Springer-Verlag)
[6]. Pauli, W: Der Einfluss archetypischer Vorstellungen auf die Bildung naturwissenschaftlicher Theorien bei Kepler (1952). English translation in: C.P. Enz and K. von Meyenn (eds.), Wolfgang Pauli. Writings on Physics and Philosophy, Springer, Berlin 1994
[7]. Pauli to Pais, 17 Aug. 1950 [1147], PLC IV/1 (K. v. Meyenn, ed.: Wolfgang Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel, Springer-Verlag, Vol IV, 1996)
[8]. Манин Ю.И. «Математика как метафора». Москва. МЦНМО, 2008, стр. 253 (эссе «Аркадий, Борис, Володя»)